Informatique au lycée Faustin Fleret

I. Le système décimal

Le système décimal est le système de numération que nous utilisons couramment dans notre vie quotidienne. Il se compose de dix chiffres de base : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Chaque chiffre a une valeur spécifique qui dépend de sa position dans un nombre.

Dans le système décimal, les nombres sont organisés en positions basées sur les puissances de dix. Pour mieux comprendre, prenons l'exemple du nombre 357. Chaque chiffre dans ce nombre a une valeur qui dépend de sa position : les centaines valent 300, les dizaines valent 50, et les unités valent 7.

Le système décimal fonctionne en incréments de dix. Lorsque nous atteignons la valeur 9 dans une position donnée, nous passons automatiquement à la position suivante et recommençons à compter à partir de zéro. Par exemple, si nous ajoutons 1 à 269, nous obtenons 270.

Un nombre entier se compose de différents rangs, tels que les unités, les dizaines, les centaines, etc. Chaque rang vaut dix fois le rang précédent, ce qui signifie qu'une centaine équivaut à dix dizaines, et une dizaine équivaut à 10 unités.

1976 est décomposé en puissance de 10 et on peut décomposer n’importe quel nombre en puissance de sa base.

Ainsi, nous pouvons décomposer n'importe quel nombre en puissances de sa base, et un nombre est simplement la somme de ses différents rangs.

II. Le binaire

Le système binaire est un système de numération utilisé en informatique. À la différence du système décimal, qui utilise dix chiffres, le système binaire n'en utilise que deux : 0 et 1.

Le système binaire est utilisé en informatique car les ordinateurs utilisent des circuits électroniques qui peuvent être soit en position "éteinte" (0), soit en position "allumée" (1). Ces chiffres binaires sont ensuite utilisés pour représenter des informations numériques et des instructions.

Dans le système binaire, les nombres sont organisés en positions de puissances de deux. Chaque position a une valeur différente selon sa position.

Par exemple, le nombre 10011 occupe 5 bits. Chaque rang en binaire ne peut avoir que deux valeurs (binaire = base 2) différentes : 0 ou 1. Pour la base 10, chaque rang représente une puissance de 10, pour la base 2, chaque rang occupe une puissance de 2.

Voici comment compter en binaire jusqu'à 10 :

À retenir : Nous passons au rang suivant lorsque le rang actuel est complet.

III. Conversion d'un nombre décimal en binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, nous utilisons une méthode appelée la "division par 2". Cette méthode consiste à effectuer une série de divisions par 2 jusqu'à ce que le quotient devienne égal à zéro. Ensuite, nous prenons tous les "restes" obtenus au fur et à mesure et les écrivons dans l'ordre inverse, du dernier au premier, pour obtenir la notation binaire.

IV. Conversion d'un binaire en décimale

Pour convertir un nombre binaire en décimal, il faut associez à chaque chiffre binaire une valeur de position en fonction de sa position. La position la plus à gauche a une valeur de 2^0, la position suivante a une valeur de 2^1, la position suivante a une valeur de 2^2, et ainsi de suite. Chaque valeur de position est multipliée par le chiffre binaire correspondant. Le résultat est la somme de toutes les valeurs obtenues.

V. L'hexadécimal

Le système hexadécimal est un système de numération qui utilise une base de 16. Il est largement utilisé en informatique et en programmation, car il offre une manière concise et pratique de représenter des données binaires.

Dans le système hexadécimal, nous utilisons les chiffres de 0 à 9 pour représenter les valeurs de 0 à 9, puis les lettres de A à F pour représenter les valeurs de 10 à 15. Voici la correspondance des chiffres hexadécimaux : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Le chiffre le plus élevé en hexadécimal est F, correspondant à 15 en décimal et 1111 en binaire : F est donc encodé sur 4 bits (F)₁₆ = 1111₂.

Pour convertir un nombre binaire en base 16, vous devez regrouper les bits par 4, ce qui vous donne un chiffre hexadécimal pour chaque groupe. Pour la conversion inverse, remplacez chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits.

Par exemple :

• (11011001)₂ = (1101 1001)₂ = D9₁₆
• 0x7F = (0111 1111)₂ = (01111111)₂

VI. Convertir un nombre décimal en hexadécimal

Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, la méthode est similaire au binaire, sauf que cette fois on divise par 16.

VII. Convertir un nombre hexadécimal en décimal

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, le principe est similaire à la conversion "binaire en décimal", mais cette fois, nous utilisons des puissances de 16 au lieu de 2ⁿ.

Voici un exemple :

(AB42)₁₆ = 10 x 16³ + 11 x 16² + 4 x 16¹ + 2 x 16⁰
(AB42)₁₆ = 10 x 4096 + 11 x 256 + 4 x 16 + 2 x 1
(AB42)₁₆ = 43842

Vous avez remarqué que lorsque nous rencontrons un chiffre en hexadécimal, nous le remplaçons par sa valeur décimale correspondante. Par exemple :

• un A est remplacé par un 10
• un B est remplacé par un 11
• un C est remplacé par un 12
• un D est remplacé par un 13
• un E est remplacé par un 14
• un F est remplacé par un 15

VIII. Généralisation pour une base b

La conversion d'un nombre d'une base à une autre se fait en utilisant une méthode appelée la méthode de division successive.

La méthode de division successive consiste à diviser le nombre d'origine par la base cible jusqu'à ce que le quotient devienne zéro, en enregistrant les restes obtenus à chaque étape. Les restes, lus de bas en haut, forment le nombre converti dans la base cible.

Une solution en python :

def convertir (nombre, base):
    """base : entier au moins égal à 2 donné en base 10 
    nombre :  entier naturel donné en base 10
    renvoie l’écriture en base b d'un entier n par divisions en cascade"""
    resultat = []
    while nombre != 0:
        resultat.append(nombre % base)
        nombre = nombre // base
    resultat.reverse()
    return resultat
##################
print(convertir(15,2))

Toutefois, lorsque b est supérieur ou égal à 10, de nouveaux symboles devront être introduits pour les restes obtenus supérieurs ou égaux à 10.

IX. Convertir avec python

# convertir dec -> bin
print("convertir dec -> bin : 125 : ",bin(125))
print("convertir dec -> bin : 78 : ",bin(78))

# convertir bin -> dec
print("convertir bin -> dec : 10101111 : ",0b10101111)
print("convertir bin -> dec : 10011001 : ",0b10011001)
      
# convertir dec -> hex
print("convertir dec -> hex : 257 : ",hex(257))
print("convertir dec -> hex : 161 : ",hex(161))

# convertir bin -> hex
print("convertir bin -> hex : 10101111 : ",hex(0b10101111))
print("convertir bin -> hex : 111001 : ",hex(0b111001))

# convertir hex -> dec
print("convertir hex -> dec : a3F : ",int(0xa3F))
print("convertir hex -> dec : 2ad : ",int(0x2ad))

Fiche de cours

LeBinaire

Le système binaire utilise deux symboles : 0 et 1, chaque symbole étant codé sur un bit.
8 bits forment un octet. Un octet peut coder un entier positif compris entre 0 et 255.

Du  décimal au binaire

• Décomposer en somme de puissances de 2.
  Exemple :
  83=64+16+2+1
  (83)₁₀=(1010011)₂
• Effectuer des divisions successives par 2 et noter les restes « à l’envers« .
  Exemple :
  
  

Du binaire au décimal

Ajouter les puissances de 2.

Exemple :

2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	1	0	1	0	1

Pour convertir un nombre binaire en décimal, il suffit d’ajouter les puissances de 2 correspondant aux positions des bits à 1.

(10110101)₂=(2⁷+2⁵+2⁴+2²+2⁰)₁₀=(181)₁₀

Hexadécimal

Seize symboles : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Les lettres A à F correspondent aux nombres de 10 à 15

Binaire (base 2)	Décimal (base 10)	Hexadécimal (base 16)
0	0	0
1	1	1
10	2	2
11	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

De l’hexadécimal au binaire

Coder chaque symbole en binaire sur 4 bits.
Exemple :
(B)₁₆=(11)₁₀=(1011)₂
(2)₁₆=(2)₁₀=(0010)₂
(D)₁₆=(13)₁₀=(1101)₂
donc : (B2D)₁₆=(1011 0010 1101)₂

De l’hexadécimal au décimal

Ajouter les puissances de 16 multipliées par la valeur du chiffre correspondant.
(B2D)₁₆=(11×16²+2×16+13)10=(2861)₁₀

Du décimal à l’hexadécimal

Effectuer des divisions successives par 16 et noter les restes « à l’envers ».

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