Représentation binaire d'un entier relatif

Numérique et sciences informatiques

donnees

I. Les opérations : additionner / soustraire / multiplier

L'addition

En binaire (0,1), la table d'addition est simple.

1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
0 + 0 = 0
1 + 1 = 10 (0 + « une retenue 1 »)

Exemple :

addition
Addition en binaire

La multiplication

En binaire (0,1), la table de multiplication est rapide :

1 * 0 = 0
0 * 0 = 0
1 * 1 = 1
0 * 1 = 0

Exemple :

multiplication
multiplication en binaire

Entraînement 1 :

  1. Calculer la somme de (1001 1101)2 et (0001 1111)2
  2. Réaliser la somme de (1101 1101)2 et (0001 1111)2
  3. Calculer le produit de (1101)2 et (1111)2

II. Convertir un entier négatif en binaire

1ère méthode : Le complément à 2

Pour convertir un entier négatif en binaire, nous utiliserons la méthode du complément à deux.

Avant de représenter un entier relatif, il est nécessaire de définir le nombre de bits qui seront utilisés pour cette représentation (souvent 8, 16 , 32 ou 64 bits)

Prenons tout de suite un exemple : déterminons la représentation de -12 sur 8 bits

  • Commençons par représenter 12 sur 8 bits (sachant que pour représenter 12 en binaire seuls 4 bits sont nécessaire, les 4 bits les plus à gauche seront à 0) : 00001100
  • Inversons tous les bits (les bits à 1 passent à 0 et vice versa) : 11110011
  • Ajoutons 1 au nombre obtenu à l'étape précédente : les retenues sont notées en rouge
  • Le résultat de l'opération représente -12 sur 8 bits : 11110100

Vérification :

Pour vérifier, Nous pouvons réaliser l'opération 12 + (-12) et constater que le résultat est zéro.

Dans l'opération ci-dessus, nous avons un 1 pour le 9e bit, mais comme notre représentation se limite à 8 bits, il nous reste bien 00000000.

Entraînement 2 :

En utilisant le complément à 2, représentez -15 (représentation sur 8 bits)

Il faut noter que si le bit de poids fort est à 1, l'entier est négatif, si le bit de poids fort est à 0, il est positif.

Entraînement 3 :

Représentez sur 8 bits l'entier 4 puis représentez, toujours sur 8 bits, l'entier -5. Additionnez ces 2 nombres (en utilisant les représentations binaires bien évidemment), vérifiez que vous obtenez bien -1.


Entraînement 4 :

  1. Quel est le plus petit entier négatif que l'on peut représenter sur 8 bits avec le complément à 2 ?
    2. Voir une solution

  2. Quel est le plus grand entier positif avec le complément à 2 que l'on peut représenter sur 8 bits ?
    3. Voir une solution

  3. Quelles sont les bornes inférieure et supérieure d'un entier relatif codé sur 16 bits ?
    4. Voir une solution


2ème méthode :

Il existe une autre méthode pour trouver le complément à 2 sans faire de calcul :

  1. En partant de l'unité (de la droite) on recopie jusqu'au premier bit égal à 1 inclus
  2. On inverse tous les autres.

Exemple 1 :
00001001 = 9 en binaire
00001001 en rouge la partie à inverser
11110111 = -9 en binaire

Exemple 2 :
00001000 = 8 en binaire .
00001000 en rouge la partie à inverser
11111000 = -8 en binaire


Savoir faire

  • Évaluer le nombre de bits nécessaires à l'écriture en base 2 d'un entier, de la somme ou du produit de deux nombres entiers.
  • Utiliser le complément à 2.

Fiche de cours